Situación de Modelación 1: La Rampa

1 Material

• Situación de Modelación 1

2 Situación de Modelación 01

Para asegurar que las rampas sean accesibles y seguras, la norma vigente en Chile establece que la pendiente máxima permitida para rampas es del 12% para distancias horizontales de hasta 150cm. Esto significa que, por cada 100cm de recorrido horizontal, la rampa puede tener hasta 12cm de altura. Cuando la distancia horizontal es mayor a 150cm, la pendiente debe reducirse a un 8%.

2.1 Actividad 01

Considerando la ilustración

Completa la siguiente tabla con las diferentes medidas que podría tener una rampa:

Distancia horizontal (D) cm	Diferencia de nivel cm	Pendiente %	Pendiente en decimal
	12
	12
	12
	8
	8
	8

Solución

Distancia horizontal (D) cm	Diferencia de nivel cm	Pendiente %	Pendiente en decimal
50	6	12	6/50 = 0.12
100	12	12	12/100 = 0.12
150	18	12	18/150 = 0.12
200	16	8	16/200 = 0.08
250	20	8	20/250 = 0.08
300	24	8	24/300 = 0.08

2.2 Actividad 02

Utiliza Geogebra Para dibujar las rampas de la tabla anterior utilizando el comando Polígono:

Podría resultar conveniente utilizar el punto de coordenadas (0,0) en el plano como punto de partida y el semieje de las abscisas x, para representar la distancia horizontal de cada rampa. Luego responde las siguientes preguntas

Pregunta A

¿Qué tipo de triángulo representa las rampas dibujadas?

Solución

Si consideramos cada rampa como un triángulo, entonces cada rampa es un triángulo rectángulo, ya que su base es perpendicular con su altura, formando un ángulo de 90° en ambas rampas

Pregunta B

¿Qué semejanzas observas entre las rampas dibujadas?

Solución

• En ambas rampas existe una proporcion definida entre su base y altura
• En ambas rampas existe un ángulo de 90 grados

Pregunta C

¿Qué diferencias observas entre las rampas dibujadas?

Solución

• Cada rampa posee una pendiente diferente
• La primera rampa tiene un rango límite, para $x\in (0,150]$
• La segunda rampa tiene un rango para $x\in (150,\mathrm{\infty })$

2.3 Actividad 03

Utiliza Geogebra para medir los ángulos interiores de las rampas representadas. Luego responde las siguiente preguntas:

Pregunta A

¿Cuál es la medida del ángulo de inclinación de las rampas con una pendiente del 12%?

Solución

• GeoGebra: Herramientas >> Medición >> Ángulo

El ángulo de inclinación de la rampa con una pendiente del 12% es 6.84 grados

También se puede calcular con arcoTangente, ya que la pendiente es la relación entre los catetos del triángulo

Pregunta B

¿Cuál es la medida del ángulo de inclinación de las rampas con una pendiente del 8%?

Solución

El ángulo de inclinación de la rampa con una pendiente del 8% es 4.57 grados

También se puede calcular con arcoTangente, ya que la pendiente es la relación entre los catetos del triángulo

Pregunta C

¿Cuál debería ser la medida del ángulo de inclinación de una rampa cuya pendiente sea del 6%?

Solución

El ángulo de inclinación para una rampa cuya pendiente es del 6%, es de 3.43 grados

2.4 Actividad 04

Pregunta A

Completa la tabla siguiente usando Geogebra o tu calculadora para calcular los valores del seno, coseno y tangente del ángulo especificado en cada caso. Considera las siguientes definiciones:

• D: distancia horizontal que recorre la rampa
• N: elevación vertical de la rampa
• H: Longitud de la rampa medida a lo largo de la hipotenusa del triángulo rectángulo que representa la rampa

Aproxima por redondeo:

• los valores de los ángulos a dos lugares decimales
• los del seno, coseno, tangente y cocientes a cuatro lugares decimales

Pendiente de la rampa	áng. Inclinación rampa $\alpha$ (grados)	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$	$N/H$	$D/H$	$N/D$
12%
8%
6%

Solución

Pendiente de la rampa	áng. Inclinación rampa $\alpha$ (grados)	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$	$N/H$	$D/H$	$N/D$
12%	6.84	0.1191	0.9929	0.12	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
8%	4.57	0.0797	0.9968	0.08	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$
6%	3.43	0.0599	0.9982	0.06	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$

Pregunta B

¿Cómo se relacionan las razones trigonométricas de seno, coseno, tangente con los datos de la tabla?

Solución

$$\begin{array}{rlr}\sin \alpha & =\frac{catetoopuesto}{hipotenusa}& =\frac{N}{H}\\ \cos \alpha & =\frac{catetoadyacente}{hipotenusa}& =\frac{D}{H}\\ \tan \alpha & =\frac{catetoopuesto}{catetoadyacente}& =\frac{N}{D}\end{array}$$

2.5 Actividad 05

Pregunta A

¿Qué comandos de GeoGebra y qué funciones de tu calculadora te permiten determinar el ángulo de un triángulo rectángulo conociendo sus datos, sin necesidad de representarlo gráficamente? Verifícalo con los datos obtenidos en la tabla de la actividad anterior.

Solución

Conociendo sus catetos, o en su defecto la razón de sus catetos (pendiente rampa). Luego se despeja el ángulo mediante:

$$\begin{array}{r}ángulo={\tan }^{-1}(pendiente)\end{array}$$

• GeoGebra: arctan
• Calculadora: tan^-1

Pregunta B

Si se desea que el ángulo de inclinación de una rampa sea de 4°, ¿Cuál debería ser el pocentaje aproximado de su pendiente?

Solución

$$\begin{array}{rl}ángulo& ={\tan }^{-1}(pendiente)\\ \tan (ángulo)& =pendiente\end{array}$$

El porcentaje aproximado de su pendiente debería ser 6.99%

Pregunta C

Considerando que la diferencia de nivel deseada para la rampa mencionada en la pregunta anterior es de 25cm, ¿cuál debería ser la distancia horizontal que la rampa debe recorrer?

Solución

$$\begin{array}{rl}\tan (4)& =N/D\\ D& =N/\tan (4)\\ & =25/tan(4)\end{array}$$

La distancia horizontal que la rampa debe recorrer es de 357.52 cm