Temperatura de una tubería

Material Clases

Enunciado

La ecuación de la variación de temperatura en una tubería es:

\[\begin{align} T(x) = 25 + 10 \cdot \cos(3\pi x - \pi / 4) \end{align}\]

Donde

  • \(x\): distancia en metros desde el origen
  • \(T(x)\): temperatura en grados Celsius en el punto \(x\) a lo largo de la tubería

Pregunta A

Según la función anterior, ¿cuál es el valor máximo de la temperatura a lo largo de la tubería y a qué distancia del centro de equilibrio se encuentra?

Solución

En una función sinusoidal, su valor máximo es su amplitud \((a)\) más su desplazamiento vertical \((d)\)

\[\begin{align} valor_{max} &= a + d\\[5pt] &= 10 + 25\\[5pt] &= 35\\[5pt] \end{align}\]

\(\therefore\) El valor máximo de la temperatura a lo largo de la tubería es de 35°C

Pregunta B

Según la función anterior, ¿cuál es la longitud de onda? (distancia a lo largo de la tubería para un ciclo completo de temperatura)

Solución

La distancia entre 2 puntos que completan un ciclo completo, correponde al período \((P)\). En este contexto donde \(x\) se mide en unidades de longitud (y no tiempo), tanto el período \((P)\) como la longitud de onda \((\lambda)\) son equivalentes

\[\begin{align} \lambda &= \frac{2\pi}{b}\\[5pt] &= \frac{2\pi}{3\pi}\\[5pt] &= 0.67\\[5pt] \end{align}\]

\(\therefore\) La longitud de onda es de 0.67 metros

Pregunta C

Si la distancia a lo largo de la tubería es de 1.5 metros, ¿cuál es la temperatura en ese punto?

Solución

\(\therefore\) La temperatura de la tubería a 1.5 metros de distancia desde el origen es de 32.07°C

Pregunta D

La siguiente tabla resume la información de temperatura observadas a lo largo de la tubería en diferentes puntos:

Distancia desde el origen (m) Temperatura observada (°C)
0.5 19.73
1.2 24.85
1.8 30.02
2.4 22.19
2.7 15.30

Utilizando la función seno, determina la expresión algebraica que mejor se ajuste al conjunto de puntos de la tabla anterior

Solución

Pregunta E

En base a la fórmula del ajuste sinusoidal, ¿cuál es el desfase horizontal y desplazamiento vertical de la onda para los valores de la tabla?

Solución

La forma general de una función sinusoidal es:

\[\begin{align} f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x + c) + d \end{align}\]

Donde:

  • \(\frac{c}{b}\): representa el desfase horizontal \((dh)\)
  • \(d\): representa el desplazamiento vertical \((dv)\)

\[\begin{align} dh &= \frac{c}{b}\\[5pt] &= \frac{2.5675}{3.0543}\\[5pt] \end{align}\]

\(\therefore\) El desfase horizontal es de 0.87 metros a la izquierda, y el desplazamiento vertical es de +24.22 °C