Ejercicios Trigonometría
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Ejercicio 01
Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7m de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60° y sostiene el artilugio a una altura de 1.5m
Solución
Sea la \(h\) la altura de la torre:
\[\begin{align} h = \overline{BC} + \overline{CD} \end{align}\]
- Se tiene la siguiente relación:
\[\begin{align} \tan(60) &= \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\\[5pt] \overline{BC} &= \overline{AC} \cdot \tan(60) \end{align}\]
- Finalmente, se calcula la altura de la torre:
Ejercicio 02
Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situados a 100 metros el uno del otro. Como tiene acceso al edificio más alto, observa que desde la azotea de dicho edificio se avista la azotea del otro bajo un ángulo de \(\alpha = 73.3°\). Desde la base del mismo edificio, se ve la azotea del otro edificio bajo un ángulo de elevación \(\beta = 19.29°\). ¿Cuál es la altura de cada edificio?
Solución
Sean \(h1\) y \(h2\) las alturas de los edificios pequeño y grande respectivamente:
\[\begin{align} h1 &= \overline{CA}\\[5pt] h2 &= \overline{CA} + \overline{ED}\\[5pt] \end{align}\]
- Se calcula el segmento \(\overline{CA}\):
\[\begin{align} \tan(19.29) &= \frac{\overline{CA}}{100}\\[5pt] \overline{CA} &= 100 \cdot \tan(19.29) \end{align}\]
- Se calcula el segmento \(\overline{ED}\):
\[\begin{align} \tan(73.3) &= \frac{\overline{ED}}{100}\\[5pt] \overline{ED} &= 100 \cdot \tan(73.3) \end{align}\]
- Finalmente, se calculan las alturas de los edificios:
Ejercicio 03
Halla la altura \(x\) de las Torres Petronas, y también las distancias \(y\) y \(z\)
Solución
Sea el triángulo \(\triangle ABC\)
- Se calcula el ángulo faltante:
\[\begin{align} ang1 &= 180° - 75° - 45°\\[5pt] &= 60°\\[5pt] \end{align}\]
- Se calcula el segmento \(z\) mediante ley de los senos:
\[\begin{align} \frac{678}{\sin(ang1)} &= \frac{z}{\sin(75)}\\[5pt] z &= \frac{678 \cdot \sin(75)}{\sin(ang1)} \end{align}\]
- Se calcula el segmento \(y\) mediante ley de los senos:
\[\begin{align} \frac{678}{\sin(ang1)} &= \frac{y}{\sin(45)}\\[5pt] y &= \frac{678 \cdot \sin(45)}{\sin(ang1)} \end{align}\]
- Finalmente, se calcula el segmento \(x\):
\[\begin{align} \sin(60) &= \frac{x}{y}\\[5pt] x = y \cdot \sin(60) \end{align}\]
\(\therefore\) Los valores encontrados son: \(x = 479.42\), \(y = 553.58\), \(z = 756.21\)
Ejercicio 04
El trayecto de un cuadriatlón (competición deportiva de cuatro disciplinas) está trazado entre cinco puntos (o vértices): A, B, C, D y E.
El tramo AB son 9km de ciclismo, el tramo BC son 3km de natación, el tramo CD son 5km de atletismo y el tramo BD son 5km de piragüismo
En el vértice E hay una parada para tomar agua, la distancia entre los vértices C y E es de 0.95km y los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) miden 72.58° y 54° respectivamente.
Pregunta A
Calcular Distancias a (tramo EB)
Solución
Sea el segmento \(\overline{EB}\) la distancia que se busca
- Se aplica la ley de los senos para el triángulo \(\triangle BDE\):
\[\begin{align} \frac{\overline{BD}}{\sin(\gamma)} &= \frac{\overline{CD}}{\sin(\beta)}\\[5pt] \sin(\gamma) &= \frac{\overline{BD} \cdot \sin(\beta)}{\overline{CD}}\\[5pt] \gamma &= \arcsin\left(\frac{\overline{BD} \cdot \sin(\beta)}{\overline{CD}}\right) \end{align}\]
- Se calcula el angulo faltante del triángulo \(\triangle BDE\):
\[\begin{align} 180° &= ang1 + \beta + \gamma\\[5pt] ang1 &= 180° - \beta - \gamma\\[5pt] \end{align}\]
- Finalmente, se utiliza una última vez la ley de los senos:
\[\begin{align} \frac{\overline{EB}}{\sin(ang1)} &= \frac{\overline{CD}}{\sin(\beta)}\\[5pt] \overline{EB} &= \frac{\overline{CD} \cdot \sin(ang1)}{\sin(\beta)} \end{align}\]
\(\therefore\) La distancia \(\overline{EB} = 5.88\;km\)
Pregunta B
Calcular Distancia del inicio al punto D en línea recta
Solución
Sea el segmento \(\overline{AD}\) la distancia que se busca
- Se observa el triángulo \(\triangle ABD\), del cual se conocen 2 de sus 3 lados, y el ángulo \(\beta\):
- Segmento \(\overline{AB}\)
- Segmento \(\overline{BD}\)
- Ángulo \(\angle \beta\)
- Se calcula el segmento \(\overline{AB}\):
\[\begin{align} \overline{AB} = \overline{AE} + \overline{EB} \end{align}\]
- Finalmente, se aplica la ley de los cosenos:
\[\begin{align} \overline{AD}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cdot \cos{\beta}\\[5pt] \overline{AD} &= \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BD}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BD} \cdot \cos{\beta}}\\[5pt] \end{align}\]
Ejercicio 05
La figura muestra el plano de emplazamiento de un terreno. La información que contiene se obtuvo de un levantamiento que se hizo en terreno.
¿Cuál sería el valor de una cerca perimetral si el metro tiene un valor de $1800?
Solución
Se visualiza el polígono como 2 triángulos. Esto es para poder aplicar herramientas trigonométricas como la ley de senos y cosenos. En un inicio solo se sabe que:
- \(\angle 76.87° = \angle ang1 + \angle ang2\)
- \(\angle 63.48° = \angle ang3 + \angle ang4\)
Del triángulo \(\triangle ACD\), se calcula el segmento \(\overline{AC}\) utilizando la ley de los cosenos:
\[\begin{align} \overline{AC}^2 &= \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - 2 \cdot \overline{AD} \cdot \overline{CD} \cdot \cos(104.06)\\[5pt] \overline{AC} &= \sqrt{\overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 - 2 \cdot \overline{AD} \cdot \overline{CD} \cdot \cos(104.06)} \end{align}\]
- Se calcula los ángulos \(\angle ang2\) y \(\angle ang4\) utilizando la ley de los senos:
\[\begin{align} \frac{\overline{AC}}{\sin(104.06)} = \frac{\overline{CD}}{\sin(ang2)} = \frac{\overline{AD}}{\sin(ang4)} \end{align}\]
- Para \(\angle ang2\)
\[\begin{align} \frac{\overline{AC}}{\sin(104.06)} &= \frac{\overline{CD}}{\sin(ang2)}\\[5pt] \sin(ang2) &= \frac{\overline{CD} \cdot \sin(104.06)}{\overline{AC}}\\[5pt] ang2 &= \arcsin\left(\frac{\overline{CD} \cdot \sin(104.06)}{\overline{AC}}\right) \end{align}\]
- Para \(\angle ang4\)
\[\begin{align} \frac{\overline{AC}}{\sin(104.06)} &= \frac{\overline{AD}}{\sin(ang4)}\\[5pt] \sin(ang4) &= \frac{\overline{AD} \cdot \sin(104.06)}{\overline{AC}}\\[5pt] ang4 &= \arcsin\left(\frac{\overline{AD} \cdot \sin(104.06)}{\overline{AC}}\right) \end{align}\]
- Se calcula los ángulos \(\angle ang1\) y \(\angle ang3\), utilizando las ecuaciones mencionadas en el punto 1:
- Para \(\angle ang1\)
\[\begin{align} 76.87° &= ang1 + ang2\\[5pt] ang1 &= 76.87° - ang2 \end{align}\]
- Para \(\angle ang3\)
\[\begin{align} 63.48° &= ang3 + ang4\\[5pt] ang3 &= 63.48° - ang4 \end{align}\]
- Del triángulo \(\triangle ABC\), se calcula los segmentos \(\overline{AB}\) y \(\overline{BC}\) utilizando la ley de los senos:
\[\begin{align} \frac{\overline{BC}}{\sin(ang1)} = \frac{\overline{AC}}{\sin(115.59)} = \frac{\overline{AB}}{\sin(ang3)} \end{align}\]
- Para segmento \(\overline{AB}\)
\[\begin{align} \frac{\overline{AC}}{\sin(115.59)} &= \frac{\overline{AB}}{\sin(ang3)}\\[5pt] \overline{AB} &= \frac{\overline{AC} \cdot \sin(ang3)}{\sin(115.59)} \end{align}\]
- Para segmento \(\overline{BC}\)
\[\begin{align} \frac{\overline{BC}}{\sin(ang1)} &= \frac{\overline{AC}}{\sin(115.59)}\\[5pt] \overline{BC} &= \frac{\overline{AC} \cdot \sin(ang1)}{\sin(115.59)} \end{align}\]
- Se calcula el perímetro \(P\) del terreno:
\[\begin{align} P = \overline{AD} + \overline{CD} + \overline{AB} + \overline{BC} \end{align}\]
- Finalmente, si el metro tiene un valor de $1800, se realiza la siguiente conversión:
\[\begin{align} Precio\;total = P[km] \cdot 1000\left[\frac{m}{km}\right] \cdot 1800\left[\frac{\$}{m}\right] \end{align}\]
\(\therefore\) El valor de la cerca perimetral es de \(\$40246499.82\) (40 millones 246 mil 499)