La persona que lleva a cabo el experimento registra, en cada una de las primeras cinco horas, el número de bacterias existentes en la placa Petri. Al revicar los valores, se percata de que la tasa de crecimiento es de 20% respecto de la cantidad de bacterias en la hora anterior.
Completa la siguiente tabla, a partir de la información entregada:
| Hora | Número de bacterias |
|---|---|
| 0 | 100 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 |
import pandas as pd
data = {
'Hora':[0,1,2,3,4,5],
'Numero bacterias':[]
}
b0 = 100
for hora in data['Hora']:
bacterias = b0 * 1.2**hora
data['Numero bacterias'].append(round(bacterias,2))
df = pd.DataFrame(data)
html_output = df.to_html(index=False)
html_output| Hora | Numero bacterias |
|---|---|
| 0 | 100.00 |
| 1 | 120.00 |
| 2 | 144.00 |
| 3 | 172.80 |
| 4 | 207.36 |
| 5 | 248.83 |
¿Cuál es la expresión algebraica que modela el número de bacterias en la placa Petri en función del tiempo? ¿Existe una única expresión?
La expresión del modelo es:
\[\begin{align} f(t) = 100 \cdot 1,2^t \end{align}\]
Donde:
No es la única expresión. Es posible expresar el modelo utilizando la constante Euler como factor de crecimiento utilizando la siguiente fórmula de conversión:
\[\begin{align} b = e^{\ln(b)} \end{align}\]
La nueva expresión queda entonces:
\[\begin{align} g(t) &= 100 \cdot e^{\ln(1,2) \cdot t}\\[5pt] &= 100 \cdot e^{0,18 \cdot t} \end{align}\]
Donde:
En la representación gráfica de la función en GeoGebra, identifica e interpreta cada una de las constantes en la expresión.
\[f(t) = 100 \cdot 1,2^{t}\]
| Constante | Descripción |
|---|---|
| 100 | población inicial de bacterias |
| 1,2 | factor de crecimiento |
Considera la función planteada en la actividad anterior cuya forma es \(f(x)=a \cdot b^x\)
¿Cuál será la población de bacterias después de ocho horas?
Luego de 8 horas, la población de bacterias es alrededor de 430.
¿A qué hora la población como mínimo será de 2800 bacterias?
La población será como mínimo de 2800 bacterias luego de 18,28 horas.
¿Existe algún instante de tiempo específico en el que se alcance exactamente dicha cantidad de bacterias?
No, debido a que el tiempo encontrado \(t = 18,28\) es una aproximación de un número irracional. Por lo que no es un tiempo exacto.
Si en el laboratorio desearan una población de 5000 bacterias en 10 horas, responde cada una de las siguientes preguntas de manera independiente:
¿Cuál tendría que ser la población inicial de bacterias?
\[\begin{align} f(t) = a \cdot 1,2^t\quad \text{y}\quad f(10) = 5000\\[5pt] \end{align}\]
\[\begin{align} 5000 &= a \cdot 1,2^{10}\\[5pt] a &= \frac{5000}{1,2^{10}}\\[5pt] &= 807,53 \end{align}\]
¿Cuál tendría que ser la tasa de crecimiento óptima de las bacterias?
\[\begin{align} f(t) = 100 \cdot b^t\quad \text{y}\quad f(10) = 5000\\[5pt] \end{align}\]
\[\begin{align} 5000 &= 100 \cdot b^{10}\\[5pt] \frac{5000}{100} &= b^{10}\\[5pt] b^{10} &= 50\\[5pt] b &= \sqrt[10]{50}\\[5pt] b &\approx 1.48 \end{align}\]
La tasa de crecimiento óptima de las bacterias es \(1,48\)
El crecimiento exponencial puede ocurrir durante un tiempo, si hay pocos individuos y muchos recursos. Cuando el número de individuos es lo suficientemente grande, los recursos empiezan a agotarse, haciendo que se desacelere la tasa de crecimiento y provocando, por lo tanto, que el tamaño de la población se nivele o se estabilice.
En este caso, el modelo exponencial es:
\[\begin{align} P(t) = \frac{K \cdot P_0 \cdot e^{r \cdot t}}{K+P_{0} \cdot (e^{r \cdot t}+1)} \end{align}\]
donde
Considera los mismo valores de la población inicial y tasa de crecimiento del modelo de la Actividad 3 y una capacidad de resistencia de 10000 bacterias.
¿Cuál es la expresión algebraica que modela el número de bacterias en la placa Petri en función del tiempo?
\[\begin{align} P(t) &= \frac{K \cdot P_0 \cdot e^{r \cdot t}}{K+P_{0} \cdot (e^{r \cdot t}+1)}\\[5pt] &= \frac{10000 \cdot 100 \cdot e^{1.2 \cdot t}}{10000 + 100 \cdot (e^{1.2 \cdot t}+1)}\\[5pt] &= \frac{10^6 \cdot e^{1.2 \cdot t}}{100 \cdot e^{1.2 \cdot t} + 10100}\\[5pt] \end{align}\]
Representa gráficamente la función en GeoGebra.
¿Cuál será la población de bacterias transcurridas ocho horas? ¿Y transcurridas 40 horas?Compara el modelo con el de la Actividad 03.
| \(t\) | \(f(t)\) | \(P(t)\) |
|---|---|---|
| 8 | 429.98 | 146977.16 |
| 40 | 9932.059 | 10000.00 |
El modelo \(P(t)\) es mucho más rápido.
¿En qué tiempo aproximadamente se podría alcanzar la capacidad de resistencia de la población?
