Situación de Modelación 02: Sueño Dorado

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Situación de Modelación 2

2 Situación de Modelación 02

2.1 Actividad 01

Sabiendo que los ingresos obtenidos por la venta de un producto se calculan mediante la expresió:

\[\begin{align} ingresos = precio\: de\: venta\: por\: unidad \cdot cantidad\: de\: unidades\: vendidas \end{align}\]

y que el precio de venta que la empresa ha fijado para este producto es de $80000, responde:

Pregunta A

Completa la tabla con los ingresos que se obtienen, de acuerto a la información dada inicialmente

Unidades vendidas	Ingresos($)
100
200
300
400
500

Solución

python code

import pandas as pd

data = {
    'Unidades':[100,200,300,400,500],
    'Precio venta unidad':[80000]*5,
    'Ingresos':[]
}

for unidad in data['Unidades']:
    ingreso = 80000 * unidad /1000000
    ingreso = str(int(ingreso)) + ' millones'
    data['Ingresos'].append(ingreso)

df = pd.DataFrame(data)
html_output = df.to_html(index=False)
html_output

Unidades	Precio venta unidad	Ingresos
100	80000	8 millones
200	80000	16 millones
300	80000	24 millones
400	80000	32 millones
500	80000	40 millones

Pregunta B

¿Cuál es la expresión algebraica de la función que permite modelar el ingreso dependienteo de la cantidad de unidades vendidas?

Solución

\[\begin{align} f(x) = 80000 \cdot x \end{align}\]

donde:

$x$: cantidad de unidades vendidas
$80000$: precio de venta por unidad
$f(x)$: ingresos

Pregunta C

¿Qué ocurre con los ingresos de la empresa a medida que vende una mayor cantidad del producto?

Solución

Los ingresos aumentan proporcionalmente a medida que se venden más productos.

Pregunta D

¿Existe alguna cantidad de unidades vendidas para que los ingresos sean máximos?

Solución

Para este caso particular no, ya que no se menciona una cantidad máxima de unidades vendidas.
Si la empresa solo puede vender hasta una cantidad $n$, entonces el ingreso máximo de la empresa sería:

\[\begin{align} ingreso_{máx} = f(n) = 80000 \cdot n \end{align}\]

Pregunta E

¿Existe alguna cantidad de unidades vendidas para la cual la empresa no tenga ingresos?

Solución

Si. Cuando la empresa no vende ningún producto $x=0$, su ingreso es $0$.

\[\begin{align} f(0) = 80000 \cdot 0 = 0 \end{align}\]

Pregunta F

¿Cuál es el número de almohadas que se deben vender para alcanzar ingresos de 1200 millones de pesos?

Solución

Se deben vender $15000$ almohadas para alcanzar un ingreso de $1200$ millones de pesos.

2.2 Actividad 02

Si la función de costos de la empresa es $C(x) = -0.14x^2 + 1580x + 805000000$, donde $x$ está expresada en unidades del producto, responde:

Pregunta A

¿Qué ocurre con los costos de la empresa a medida que produce una mayor cantidad del producto? ¿Por qué crees que ocurre esto?

Solución

El factor que acompaña a $x^2$ es negativo, por lo que la función es una parábola invertida.
Entonces a medida que aumentan las unidades de producto $x$, la función de costo $C(x)$ también aumentará, hasta un punto máximo (vértice).
Luego del punto máximo, los costos disminuirán a medida que aumenten las unidades de producto $x$

Pregunta B

¿Cuál es el costo de no producir unidades?

Solución

\[\begin{align} C(0) &= -0.14 \cdot 0 + 1580 \cdot 0 + 805000000\\[5pt] &= 805000000 \end{align}\]

El costo de no producir unidades es de $\$805$ millones.

Pregunta C

¿Qué cantidad del producto genera el costo máximo? ¿Y el costo mínimo?

Solución

El costo máximo es generado al producir $\approx 5643$ unidades.
El costo mínimo $0$ es generado al producir $\approx 81681$ unidades.

El costo mínimo $0$ es teórico, ya que en la práctica una empresa siempre tiene que cubrir costos de operación mínimos, como salarios, mantenimiento de equipos, servicios públicos, alquiler, etc.

Además la meta de una empresa no es tener un costo 0, sino de ser rentable y sostenible en el largo plazo.

2.3 Actividad 03

Analizando las funciones anteriores, responde:

Pregunta A

¿Para qué cantidad de unidades producidad y vendidad la empresa alcanza un punto de equilibrio, es decir, donde los costos sean iguales a los ingresos?

Solución

Sean las funciónes de ingreso $I(x)$ y costo $C(x)$:

\[\begin{align} I(x) &= 80000 \cdot x\\[5pt] C(x) &= -0.14 \cdot x^2 + 1580 \cdot x + 805000000 \end{align}\]

El punto de equilibro ocurre cuando:

\[\begin{align} I(x) &= C(x)\\[5pt] 80000 \cdot x &= -0.14 \cdot x^2 + 1580 \cdot x + 805000000 \end{align}\]

Entonces, el punto de equilibro donde los ingresos son iguales a los costos, ocurre cuando se producen $\approx 10084$ unidades.

Pregunta B

¿Para qué cantidad de unidades producidas y vendidas la empresa obtendrá ganancias?

Solución

Considerando el punto de equilibrio $10084$ unidades:

La función de costo $C(x)$ va en descenso, ya que su costo máximo es generado al producir $5643$ unidades.
La función de ingreso $I(x)$ siempre va en aumento, ya que es lineal positiva.
Entonces, para una cantidad mayor al punto de equilibrio, $I(x) > C(x)$.

Por lo tanto, la empresa obtendrá ganancias para una cantidad producida mayor a $10084$ unidades.

Pregunta C

¿Para qué cantidad de unidades producidad y vendidas la empres tendrá pérdidas?

Solución

Similar a la Pregunta D:

Para una cantidad menor al punto de equilibro, $I(x) < C(x)$.

Por lo tanto, la empresa tendrá pérdidas para una cantidad producida menor a $10084$ unidades.

Pregunta D

¿Cuál es la expresión algebraica que permite determinar las ganancias de la empresa, en pesos, de acuerdo a la cantidad de unidades vendidas de su almohada “sueño dorado”?. Considera que las ganancias se calculan restando los costos del producto a los ingresos obtenidos por ventas.

Solución

Sea la función utilidad $U(x)$:

\[\begin{align} U(x) = ingresos - costos \end{align}\]

La función que permite determinar las ganancias de la empresas es:

\[\begin{align} U(x) = \frac{7}{50} \cdot x^2 + 78420 \cdot x - 805 \cdot 10^6 \end{align}\]

Donde:

$x$: unidades de productos
$U(x)$: ganancia de la empresa