Introducción a Trigonometría
1 Material Clases
2 Trigonometría
2.1 Tipos de Ángulos
| Ángulo | Descripción |
|---|---|
| agudo | menor a 90° |
| recto | igual a 90° |
| obtuso | mayor a 90° |
| extendido | igual a 180° |
2.2 Sistema y Medidas Angulares
- Sexagesimal: Se utilizan grados, minutos, segundos
- Circular: Se utilizan radianes
| Grados | Radianes |
|---|---|
| 90 | \(\frac{\pi}{2}\) |
| 180 | \(\pi\) |
| 270 | \(3\frac{\pi}{2}\) |
| 360 | \(2\pi\) |
2.3 Razones Trigonométricas
| Descripción | |
|---|---|
| \(seno(\alpha)\) | \(\frac{cateto\;opuesto}{hipotenusa}\) |
| \(coseno(\alpha)\) | \(\frac{cateto\;adyacente}{hipotenusa}\) |
| \(tangente(\alpha)\) | \(\frac{cateto\;opuesto}{cateto\;adyacente}\) |
| \(cosecante(\alpha)\) | \(\frac{1}{seno(\alpha)}\) |
| \(secante(\alpha)\) | \(\frac{1}{coseno(\alpha)}\) |
| \(cotangente(\alpha)\) | \(\frac{1}{tangente(\alpha)}\) |
2.4 Ángulo de elevación y Ángulo de depresión
Angulo de elevación: Se forma entre la horizontal del observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del observador
Ángulo de depresión: Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión
2.5 Teorema del Seno y Coseno
Ley de los Senos
\[\begin{align} \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\mu} \end{align}\]
Ley de los Cosenos
\[\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha\\[5pt] b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta\\[5pt] c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos\mu\\[5pt] \end{align}\]
2.6 Función Seno
\[\begin{align} f(x) = \sin(x) \end{align}\]
- Las imágenes de la función \(f(x) = \sin(x)\) están en el intervalo \([-1,1]\)
- El máximo de \(\sin(x)\) se alcanza cuando \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- El mínimo de \(\sin(x)\) se alcanza cuando \(x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- Los ceros de la función se obtienen cuando \(x = k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- La gráfica de la función es periódica, se repite cada \(x = 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- La función seno es impar, por lo que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180° alrededor de su origen
2.7 Función Coseno
- Las imágenes de la función \(f(x) = \cos(x)\) están en el intervalo \([-1,1]\)
- El máximo de \(\cos(x)\) se alcanza cuando \(x = 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- El mínimo de \(\sin(x)\) se alcanza cuando \(x = \pi + 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- Los ceros de la función se obtienen cuando \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- La gráfica de la función es periódica, se repite cada \(x = 2k\pi\), con \(k \in \mathbb{Z}\)
- La función coseno es par (es simétrica con respecto al eje y), por lo que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y
2.8 Amplitud
Distancia vertical entre la línea media y uno de los puntos extremos. Si no tenemos la línea media, es posible calcular la amplitud en base a los puntos extremos.
\[\begin{align} \frac{valor\;máximo - valor\;mínimo}{2} \end{align}\]
2.9 Período
- Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, cada cierto tramo se repiten
- El periódo es la distancia entre 2 ptos. máximos o 2 ptos. mínimos consecutivos
Sean las funciones \(f(x) = \sin(bx)\) y \(h(x) = \cos(bx)\), su periodo se puede calcular como:
\[\begin{align} periódo = \frac{2\pi}{|b|} \end{align}\]
2.10 Traslación
- \(g(x)\) es idéntica a \(f(x)\), pero trasladada \(\frac{\pi}{2}\) unidades a la izquierda.
- \(h(x)\) es idéntica a \(f(x)\), pero trasladada \(\pi\) unidades a la derecha.