ARPA 2: Un Terreno Peligroso
1 Material
2 Ejercicio 01
El profesor de topografía ha asignado a sus estudiantes la tarea de calcular el área de un terreno triangular, como el que se muestra en la imagen, donde \(h_b\) representa la altura del triángulo:
El profesos les ha indicado que puede medir las distancias \(a\), \(b\), \(c\), así como los ángulos \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), utilizando las herramientas a su disposición. Sin embargo, no podrán medir la altura \(h_b\) directamente, ya que en ese punto hay un deslizamiento de tierra peligroso.
Dos estudiantes de la clase, Alan y Matías, saben que el área de un triángulo se calcula utilizando la siguiente fórmula:
\[\begin{align} A = \frac{base \cdot altura}{2} \end{align}\]
Alan comenta: “Si conocemos la distancia \(c\) del terreno y el ángulo \(\alpha\), podemos calcular la altura del triángulo y, con ello, determinar el área del terreno”
Matías opina: “Si calculamos la distancia \(a\) del terrno y el ángulo \(\gamma\), también podemos hallar la altura del triángulo y, por lo tanto, el área del terreno.”
Después de unos minutos de debate, ambos creen que su procedimiento es el correcto y que el otro está equivocado. Llaman al profesor para resolver la discusión. El profesor se acerca y les dice: “Ambos tienen razón”
¿Por qué les dice esto?
Solución
- Ambos están en lo correcto, ya que descomponen el problema en problemas más pequeños
- En este caso, descomponen el triángulo en 2 triangulos pequeños, T1 y T2:
Para T1:
- \(c\) es la hipotenusa
- \(h_b\) es el cateto opuesto de \(\alpha\)
\[\begin{align} \sin(\alpha) &= \frac{cateto\;opuesto}{hipotenusa}\\[5pt] &= \frac{h_b}{c}\\[5pt] \end{align}\]
Despejando \[\begin{align} h_b = c \cdot \sin(\alpha) \end{align}\]
Para T2:
- \(a\) es la hipotenusa
- \(h_b\) es el cateto opuesto de \(\gamma\)
\[\begin{align} \sin(\gamma) &= \frac{cateto\;opuesto}{hipotenusa}\\[5pt] &= \frac{h_b}{a}\\[5pt] \end{align}\]
Despejando \[\begin{align} h_b = a \cdot \sin(\gamma) \end{align}\]
3 Ejercicio 02
El profesor, después de decirles: “Ambos tienen razon”, añade: “Sin embargo, esta no es la única altura que se puede trazar en el triángulo”. A continuación, señala lo siguiente en el plano:
¿Qué otras relaciones pueden establecer para hallar la altura en ambos casos?
Solución
- Se utiliza el mismo método que en el ejercicio 1. Esto es, descomponer el triángulo en triángulos más pequeños
Para \(h_c\) : se tiene 2 formas para calcular la altura
- \(h_c = a \cdot \sin(\beta)\)
- \(h_c = b \cdot \sin(\alpha)\)
Para \(h_a\) : de la misma manera, se tienen 2 formas para calcular su altura
- \(h_a = c \cdot \sin(\beta)\)
- \(h_a = b \cdot \sin(\gamma)\)