ARPA 02: Lanzamiento de una piedra
1 Material
2 Ejercicio 01
Una piedra es lanzada hacia arriba desde una azotea que se encuentra a 40 metros de altura. Llega a un punto máximo de altura y cae al suelo. Algunos de los tiempos y sus respectivas alturas se muestran a continuación.
| Tiempo(s) | Altura(m) |
|---|---|
| 0 | 40 |
| 1 | 60 |
| 2 | 70 |
| 3 | 70 |
| 4 | 60 |
| 5 | 40 |
| 6 | 10 |
¿Cuál fue la altura máxima aproximada que alcanzó la piedra y en qué tiempo ocurrió?
Solución
Se obtiene el modelo:
\[\begin{align} f(x) = -5 \cdot x^2 + 25 \cdot x + 40 \end{align}\]
Donde: \(x\) es el tiempo (s), \(f(t)\) es la altura (m) alcanzada por la piedra.
- Se calcula el vértice utilizando el comando
Extremo(f)
\(\therefore\) La altura máxima que alcanzó la piedra fue de \(71,25\) metros, a los \(2,5\) segundos después de haberla lanzado.
3 Ejercicio 02
Se lanza una segunda piedra de manera vertical (al mismo tiempo que la piedra anterior) cuya expresión que modela la relación entre la altura y el tiempo es:
\[\begin{align} h(t) = -5 \cdot t^2 + 30 \cdot t + 40 \end{align}\]
¿Qué relaciones (diferencias y semajanzas) pueden establecer entre ambas trayectorias? Por ejemplo, puedes tener en cuenta, entre otras, las siguientes preguntas:
- ¿Ambas piedras se lanzan desde la misma altura?
- ¿La altura máxima alcanzada por las 2 piedras es la misma?
- ¿Cuál es la altura de ambas piedras en un instante específico de tiempo?
- ¿En qué instante de tiempo ambas piedras tienen una altura determinada?
Solución
La forma general de la ecuación cuadrática es:
\[\begin{align} f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \end{align}\]
En el contexto del un lanzamiento vertical de un objeto bajo la influencia de la gravedad, las variables y constantes se pueden interpretar de la siguiente manera:
| Variable | Significado en el lanzamiento del objeto |
|---|---|
| \(f(x)\) | altura del objeto en un tiempo \(x\) |
| \(x\) | tiempo transcurrido desde el lanzamiento |
| \(a\) | factor relacionado con la aceleración |
| \(b\) | velocidad inicial del objeto |
| \(c\) | altura inicial del objeto |
Se comparan los 2 modelos:
| Ejercicio | Modelo |
|---|---|
| 01 | \(f(t) = -5 \cdot t^2 + 25 \cdot t + 40\) |
| 02 | \(h(t) = -5 \cdot t^2 + 30 \cdot t + 40\) |
| Modelo | altura inicial [m] | altura máx [m] | Altura [m] a los 5seg | velocidad incial [m/s] | tiempo de vuelo [s] |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(t)\) | 40 | 71,25 | 40 | 25 | 6,27 |
| \(h(t)\) | 40 | 85 | 65 | 30 | 7,12 |
- Ambas piedras se lanzan desde la misma altura: 40 [m].
- La altura máxima alcanzada por las 2 piedras es distinta:
- \(f(t)\): 71,25[m], a los 2,5[s] después del lanzamiento.
- \(h(t)\): 85[m], a los 3[s] después del lanzamiento.
- La altura de las piedras a los 5 segundos después del lanzamiento es:
- \(f(t)\): 40[m] a los 5[s] después del lanzamiento.
- \(h(t)\): 65[m] a los 5[s] después del lanzamiento.
- Ambas piedras tienen una altura 0 transcurrido su tiempo de vuelo:
- \(f(t)\): tiempo de vuelo 6,27[s].
- \(h(t)\): tiempo de vuelo 7,12[s].