Buses
1 Ejercicio 01
Día a día miles de personas viajan en autobús desde la región de Valparaíso hacia la región metropolitana, siendo muchos de ellos viajeros frecuentes debido a motivos laborales.
En la región hay varias empresas de transporte terrestre de pasajeros que ofrecen servicios de traslado a la capital, entre ellas, Blue Buses y Buses Memo, ubicadas en el mismo terminal
Empresa Blue Buses
La empresa Blue Buses comienza la atención en boletería 45 minutos después de que abre el terminal, sacando su primer bus 26 minutos después de iniciar atención en boletería. La frecuencia entre buses es de 26 minutos.
El bus número \(x\) sale a los \(y\) minutos desde que se abrió el terminal, donde:
\[\begin{align} y = 26x + 45 \end{align}\]
a) Teniendo en cuenta la información anterior, ¿Cuáles son los valores que se requieren para completar la siguiente tabla?
| Número de bus | Minutos transcurridos desde que abrió el terminal |
|---|---|
| 3 | |
| 227 | |
| 14 | |
| 539 |
Solución
| Número de bus | Minutos transcurridos desde que abrió el terminal |
|---|---|
| 3 | 123 |
| 7 | 227 |
| 14 | 409 |
| 19 | 539 |
b) ¿Después de cuántos minutos de la apertura del terminal sale el primer bus de la compañía Blue Buses?
Solución
\(\therefore\) El primer bus de Blue Buses sale luego de 71 minutos de abrir el terminal
c) ¿Cuántos buses ha enviado la empresa Blue Buses a los 747 minutos desde la apertura del terminal?
Solución
Empresa Buses Memo
La otra empresa, Buses Memo, abre su boletería 295 minutos después de que abre el terminal, sacando su primer bus 16 minutos después de abrir su boletería. La frecuencia entre buses es de 16 minutos.
El bus número \(x\) sale a los \(y\) minutos desde que se abrió el terminal, donde:
\[\begin{align} y = 16x + 295 \end{align}\]
d) ¿Cuántos buses ha enviado la empresa Buses Memo a los 1223 minutos desde la apertura del terminal?
Solución
e) Cuando abre el terminal, ¿Cuál empresa es la primera en realizar el servicio de viaje a Santiago?
Solución
\(\therefore\) Blue Buses es la primera en realizar el servicio de viaje a Santiago, ya que su primer bus sale a los 71 minutos luego de abrir el terminal
f) Si la hora en que se abre el terminal es a las 04:30, ¿Cuántos buses de cada empresa han salido del terminal hasta las 19:30 horas?
Solución
- Desde las 4:30 a las 19:30, han pasado 15 horas
- 15 horas equivalen a 900 minutos
\(\therefore\) A las 19:30, han salido 33 buses de Blue Buses, y 38 buses de Buses Memo
Viajero de domingo
El día domingo la hora en que se abre el terminal es a las 05:00 de la mañana. Un viajero llega más tarde al terminal y observa que ambas empresas tienen buses con el mismo horario de salida en el andén.
g) Considerando las 2 empresas, ¿A qué número de bus corresponde la coincidencia en el horario de salida?
Solución
\(\therefore\) El número de bus 25, tiene el mismo horario de salida para ambas empresas
h) Según la respuesta anterior, ¿A cuántos minutos desde la apertura del terminal coinciden en la salida ambos buses? ¿A qué horario corresponde esta coincidencia?
Solución
- La salida de buses coincide luego de 695 minutos luego de la apertura
- 695 minutos equivale a 11 horas y 35 minutos
- Si el domingo abre a las 05:00 de la mañana
\[\begin{align} 05:00 + 11:35 = 16:35\;hrs \end{align}\]
\(\therefore\) La salida de ambos buses coincide a los 695 minutos luego de la apertura, a las 16:35 horas.Viajero frecuente
Por otro lado, Mario es un viajero frecuente que trabaja en la región metropolitana. Toma el bus por la mañana en horarios variables, por lo que en algunas ocaciones utiliza el servicio de Blues Buses y en otras ocasiones el de Buses Memo.
Según los registros, en el mes de abril Mario viajó a Santiago 5 veces en Blue Buses y 9 veces en Buses Memo, gastando un total de $41.100. Por otro lado, en mayo realizó 6 viajes en Blue Buses y 8 en Buses Memo, Gastando $41.200
i) ¿Cuál es el valor del pasaje en cada empresa?
Solución
\(\therefore\) El pasaje de Blue Buses cuesta $3000, y el pasaje de Buses memo cuesta$2900
2 Ejercicio 02
Costo de producción
El costo de producción de cada unidad de cierto producto es de $13.000, además por concepto de arriendo del local, servicios básicos y pagos, los gastos fijos siempre son de $470.000 mensuales, es decir, la expresión que modela el costo total es:
\[\begin{align} C = 13000x + 470000 \end{align}\]
Donde \(C\) corresponde al costo total y \(x\) la cantidad de unidades producidas
a) Teniendo en cuenta la información anterior, ¿Cuáles son los valores que se requieren para completar la siguiente tabla?
| Cantidad de unidades | Costo de producción ($) |
|---|---|
| 15 | |
| 769000 | |
| 60 | |
| 1393000 |
Solución
| Cantidad de unidades | Costo de producción ($) |
|---|---|
| 15 | 665000 |
| 23 | 769000 |
| 60 | 1250000 |
| 71 | 1393000 |
b) Si se ponen 510 unidades a la venta, ¿Cuál debe ser el precio de la unidad?
Solución
\(\therefore\) El precio de cada unidad es de $13922
c) Si se desea que el precio de venta sea $26.530 por unidad, ¿Cuántas unidades deben ponerse a la venta?
Solución
\(\therefore\) Si el precio de venta es de $26530, deben ponerse a la venta 35 unidades
Ingreso
Teniendo en cuenta que los ingresos se calculan multiplicando la cantidad de unidades vendidas y el precio unitario, es decir:
\[\begin{align} I = 27500x - x^2 \end{align}\]
Donde \(I\) es el ingreso en pesos y \(x\) la cantidad de unidades vendidas.
d) Si se venden 30 unidades, ¿Cuál es el monto correspondiente al ingreso?
Solución
e) Si el ingreso es de $1.892.739, ¿Cuál es la menor cantidad de unidades que se deben vender para obtener ese ingreso?
Solución
Utilidad
Las utilidades del negocio se calculan restando el costo de producción a los ingresos generados por la venta de las unidades, es decir:
\[\begin{align} U = I - C \end{align}\]
Considerando las expresiones de Ingreso y Costo entregadas anteriormente.
f) ¿Cuál es la utilidad que se obtiene al vender 57 unidades?
Solución
g) ¿Cuál es la mínima cantidad de unidades que se deben vender para obtener una utilidad de $65.131?
Solución
Punto de equilibrio
El punto de equilibrio es el número mínimo que una empresa necesita vender para que el costo de producción sea igual al ingreso por venta.
\[\begin{align} C = I \end{align}\]
Considerando las expresiones de Ingreso y Costo entregadas anteriormente.
h) ¿Cuántas unidades, como mínimo, debe vender la empresa para alcanzar el punto de equilibrio?
Solución
\(\therefore\) Se deben vender como mínimo 33 unidades para alcanzar el punto de equilibrio
Utilidad entre Empresas
Dos empresas que son competencia presentan utilidades determinadas por las siguientes expresiones
\[\begin{align} U_1(x) &= -x^2 + 4800x - 38000\\[5pt] U_2(x) &= -x^2 + 3300x + 172000 \end{align}\]
i) ¿Cuántas unidades debe vender cada una de las empresas para obtener las mismas utilidades?; ¿A cuánto dinero corresponde?
Solución
